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Hoy hablaremos de modelos generativos de vídeo, de algoritmos que se mejoran a sí mismos y de un pequeño planeta que cambió la estadística.

How Gauss Determined The Orbit of Ceres - PDF Free Download

¡Comenzamos! 💫

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1. Tendencias 📊

🎥 Make-a-video

Como todo el mundo esperaba pero seguramente mucho más rápido de lo que nadie pensaba, están apareciendo los primeros modelos de IA generativa para vídeo.

Pese a ser una evolución natural de los modelos de generación de imágenes, la generación de vídeos es algo mucho más complejo, de ahí lo sorprendente de que estemos viendo ya este tipo de modelos.

La idea es similar a otros modelos de este tipo: generar vídeos a partir de texto.

Combinando la tecnología text-to-image y complementándola con vídeos no etiquetados para entender el movimiento, el sistema Make-A-Video de Meta es capaz de sintetizar creaciones originales a partir de texto. Nada mejor que un ejemplo para ilustrar cómo funciona este modelo.

Prompt: “A teddy bear painting a portrait”

Poco se puede decir sobre esta maravilla

Por si fuera poco, Make-a-Video también acepta como entrada imágenes que el propio algoritmo se encarga de animar.

Prompt:

Vídeo generado:

¿Cuánto quedará para poder generar un vídeo complejo a partir de un guión? Seguramente menos del que pensamos.

Si quieres saber más, puedes ver todos los detalles sobre este nuevo sistema de Meta aquí.

🧮 Aprendiendo a multiplicar

“Un algoritmo que encuentra un algoritmo para mejorarse a sí mismo como algoritmo”

Este aparente trabalenguas resume un muy reciente avance del que, pese a sus profundas implicaciones, apenas se está hablando.

En álgebra lineal, el algoritmo Strassen (llamado así en honor a su creador, Volker Strassen), es un método para realizar la multiplicación de matrices de manera más rápida que el método convencional, sobre todo cuando trabajamos con matrices grandes.

Multiplicar matrices puede parecer algo sencillo, pero esta aparentemente básica operación se encuentra detrás de virtualmente todo el mundo digital del que hoy disfrutamos: procesamiento de imágenes, generación de gráficos, simulaciones, predicciones, compresión de archivos y un infinito etcétera de aplicaciones.

El mecanismo de Strassen está basado en los modelos “divide y vencerás” ya que trabaja dividiendo las matrices de partida en submatrices de forma iterativa para afrontar el cálculo.

Este algoritmo desde su creación en 1969, ha sido considerado como el más rápido, pero eso está muy cerca de cambiar.

En un paper publicado hace apenas unas semanas por el equipo de DeepMind, se habla de un nuevo modelo llamado AlphaTensor.

Como si de un juego se tratase, los creadores de este modelo retaron al algoritmo a probar nuevas combinaciones para realizar multiplicaciones de matrices de forma correcta. Cabe decir que el número de posibilidades a probar es abrumador, más de 30 órdenes de magnitud superior a las opciones del juego Go que vimos en una pasada edición.

Simplificando el concepto, podemos decir que el juego consiste en encontrar una aguja en un pajar de cuasi-infinitas opciones.

Búsqueda de nuevos mecanismos

Usando Reinforcement Learning para jugar a este juego, el modelo ha redescubierto mecanismos de multiplicación ya conocidos como el de Strassen y, sorprendentemente, también ha descubierto algunos mecanismos nuevos que aún no conocíamos.

Método clásico de multiplicación de una matriz de 4x5 por otra de 5x5

Por ejemplo, si hiciésemos la multiplicación de las dos matrices 4x5 y 5x5 que se ven arriba tal y como nos enseñaron en el instituto, nos haría falta hacer 100 multiplicaciones mientras que, en el caso del algoritmo descubierto por AlphaTensor, se logra hacer la misma operación usando solo 76 multiplicaciones.

La parte más interesante de esto es que, cuando como en este caso se encuentra un algoritmo más eficiente, este se puede incorporar al propio AlphaTensor para que funcione de manera aún más rápida con el fin de encontrar a su vez métodos más rápidos de multiplicar 🤯

Un ciclo virtuoso

Como decía al principio, este ciclo de realimentación virtuoso tiene profundas implicaciones. ¿Qué pasa cuando tenemos máquinas capaces de mejorarse a sí mismas iterativamente? Obviamente no lo sabemos, de ahí que la idea de la Singularidad se crease justamente para intentar comprender circunstancias como las que estamos comenzando a vivir.

2. Historias 📔

👦🏻 Un niño elegido por las matemáticas

El señor Büttner era profesor de primaria en una escuela de Brunswick (un pueblecito al oeste de Berlín) allá por 1784. Büttner no era demasiado aficionado a las matemáticas y, por ello, no dedicaba a sus alumnos demasiado tiempo para explicarles esta materia.

Un día, con la intención de mantener a sus alumnos atareados durante un buen rato a modo de castigo, les planteó un problema matemático: Sumar mentalmente todos los números enteros del 1 al 100.

Unos segundos después de plantear el problema, un niño de 7 años levantó la mano y dio la respuesta a la progresión aritmética que había planteado al profesor: 5050.

Büttner y su asistente, incrédulos, instaron al niño a explicar cómo había llegado a la conclusión de que esa suma era igual a 5050.

El niño explicó que le bastó con entender que había 50 sumas de igual valor en la serie: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, etc, y que, simplemente había multiplicado 101 por 50, llegando al valor del 5050.

La respuesta era correcta y el nombre del niño era Carl Friedrich.

Carl Friedrich Gauss.

🧒🏻 Un joven brillante

La leyenda de Gauss no había hecho más que comenzar, tan es así que aún hoy se le considera el más grande matemático desde la antigüedad.

Llegó a realizar sus primeros descubrimientos durante el bachillerato. Con apenas veintiún años, publicó Disquisitiones arithmeticae, una de sus principales obras en las que sentaba las bases de la teoría de números.

Durante estos primeros años de carrera profesional tuvo la oportunidad de resolver un problema que venía de la antigua Grecia y que llevaba sin solución 2000 años: probar que era posible dibujar un heptadecágono (un polígono de 17 caras) únicamente con regla y compás o enunciar el teorema de los números primos, ahí es nada.

💫 Un planeta que no es tal

En 1801, en una fecha tan significada como el día de Año Nuevo, un pequeño planeta fue avistado orbitando alrededor del Sol entre Marte y Júpiter. El recién descubierto planeta fue llamado Ceres en honor a la diosa romana de la agricultura.

El entusiasmo inicial de la comunidad científica se tornó en estupefacción al comprobar que, misteriosamente, tras haberlo seguido durante 40 días, el planeta desapareció y no regresó cuando se esperaba después de dar la vuelta al Sol.

Los astrónomos eran incapaces de poder ubicar el planeta usando sus modelos astronómicos y menos aún a partir de las escasas observaciones realizadas por Piazzi, el sacerdote descubridor del planeta.

En concreto, los astrónomos tenían que resolver las ecuaciones no lineales de Kepler para órbitas elípticas usando los muy pocos datos de que disponían, apenas un 1% de la órbita total. Sin duda, era un reto matemático formidable.

Extracto de los parte de las 19 observaciones que se hicieron sobre Ceres. Fuente: Tennenbaum & Director (1998)

Tan relevante era problema que 24 de los más famosos astrónomos crearon “La Sociedad para la Detección de un Mundo Perdido“, sociedad que también recibió el nombre de “Policía Celestial“ debido a la misión que se les había asignado: encontrar al esquivo planeta Ceres.

The Celestial Police were a group of 18th century astronomers who discovered asteroid Vesta. — Miembros de la Sociedad para la Detección de un Mundo Perdido. Por fin un club al que me gustaría pertenecer. Fuente

Cuando se estaban apagando las esperanzas de ver de nuevo al pequeño planeta -incluso el afamado Pierre-Simon Laplace sugirió que era in problema irresoluble con tan pocos datos-, un joven matemático de 24 años indicó a los astrónomos dónde debían de apuntar sus telescopios para poder ver de nuevo a Ceres.

Una vez más la respuesta era correcta. El autor de tal hazaña no podía ser otro que el Príncipe de las Matemáticas: Carl Friedrich Gauss.

🤼 El enfrentamiento más conocido de la estadística

¿Cómo pudo Gauss averiguar la órbita del planeta Ceres? Gauss, sabiendo que las medidas tomadas sobre el satélite tendrían errores, pensó en una “Ley de errores probables” que debería tener en cuenta los siguientes supuestos:

Cometer errores pequeños es más probable que cometer errores grandes
La probabilidad de cometer errores en un sentido u otro (x o -x) es igual (la distribución es simétrica)
Cuando se toman varias medidas de una misma magnitud, la media será el valor más probable

A partir de estos supuestos, Gauss definió la celebérrima distribución de campana o “Campana de Gauss” por todos conocida y por no tantos bien entendida. Más adelante, el estadístico Karl Pearson acabaría llamando a esta distribución “Distribución Normal”.

Gauss, el príncipe de los matemáticos — Las campanas de Gauss

Usando su recientemente descubierta distribución para los errores y un método aún sin nombre por aquellos momentos, Gauss pasó más de 100 horas haciendo cálculos manuales sin cometer error alguno (imaginad lo que hubiera conseguido Gauss con un ordenador en sus manos).

La órbita de Ceres y los 6 parámetros que la definen: a,e,i,π,τ,Ω. Fuente: Teets & Whitehead (1999)

Más adelante Gauss refinó este método de cálculo, lo que le permitía calcular las órbitas en apenas una horas en comparación con los días que llevaba a otros científicos calcularlas por otros medios.

Dibujo Orignal de Gauss. Fuente: Gauss (1809)

En 1805, otro célebre matemático llamado Adrien-Marie Legendre publicaba una nueva técnica a la que llamó de forma oficial “Método de los mínimos cuadrados”.

Esto molestó bastante a Gauss ya que llevaba usando este método desde que tenía 18 años y que había usado -sin llamarlo así- para el cálculo de la órbita de Ceres. Gauss no había publicado formalmente el método ya que, en sus palabras, era algo obvio para cualquier matemático mínimamente hábil.

Esto dio lugar a una de las disputas más conocidas de la historia de las matemáticas.

El hecho de reclamar al autoría de un descubrimiento después de que otro matemático lo hubiese publicado y documentado, no era algo muy bien visto en el mundo matemático. Así que, aunque seguramente Gauss estuviera en lo cierto sobre su autoría previa (algunas de sus creaciones no se podrían haber hecho sin este método), el enfado de Legendre fue mayúsculo y así se lo hizo saber en una carta:

“It was with pleasure that I saw that in the course of your meditations you had hit on the same method which I had called the method of least squares in my memoir on comets… I confess to you that I do attach some value in this little find. I will therefore not conceal from you, Sir, that I felt some regret to see that in citing my memoir… you say [you had discovered it in 1795]. There is no discovery that one cannot claim for oneself by saying that one had found the same thing some years previously; but if one does not supply the evidence by citing the place where one has published it, this assertion becomes pointless and serves only to do a disservice to the true author of the discovery.”

Sea como fuere, la capacidad creadora de Gauss fue inconmensurable. Hay autores que dicen que, si Gauss hubiese publicado y detallado todos sus descubrimientos, las matemáticas hubieran avanzado decenas de años.

🤼 El pilar de las Ciencia de Datos

El mecanismo de ajustar curvas por mínimos cuadrados, sigue siendo a día de hoy una herramienta fundamental en la estadística moderna. El método basa su funcionamiento en encontrar la curva que mejor se adapta a los datos de que se dispone minimizando el cuadrado de los errores cometidos

4.3 REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS: LINEAL Y CUADRÁTICA. - Numerictron — Regresión por mínimos cuadrados. La distancia entre los puntos y la curva representa el error.

Fuese o no su descubrimiento, Gauss se hubiera sentido muy orgulloso de ver que el método de mínimos cuadrados sigue siendo un pilar de la estadística y sobre el que sigue profundizando en disciplinas como el Machine Learning.

Este método ha permeado en casi todas las ramas de la ciencia y muy diversos ámbitos (seguros, finanzas, medicina, física, etc.), siendo una técnica enseñada a científicos de todo tipo para ayudarnos a entender la realidad cuando disponemos información imperfecta.

Es curioso pensar en cómo el avistamiento de un pequeño planeta por un astrónomo acabó dando lugar a la creación de uno de los pilares matemáticos del mundo moderno. De ahí que se antoje una tarea casi imposible poder predecir dónde se podrán encontrar las semillas de los avances que están por venir.

¡Gracias como siempre por leer hasta aquí!

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